jueves, 2 de diciembre de 2010

VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR EN DISTRIBUCIONES DE DATOS NO AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS


Para ambos tipos de distribuciones, la formula para el calculo de la varianza y la desviacion estandar es la siguiente:
=  DE DONDE S = +
En la primera expresion el numerador  indica en cada desviacion cuadratica se debe multiplicar con su correspondiente frecuancia y luego sumar los productos que se obtengan.
Ahora bien: si le damos tratamiento algebraica a la expresion anterior, se llega tambien a otras formular equivalentes que faciliten los calculos y que son:
 =
el simbolo de la sumatoria de f nos dice que hay que multiplicar el cuadrado de cada dato de la variable por su correspondiente frecuencia, sumar los productos que resulte. El simbolo entre parentesis (, multiplica cada dato de la variable por su correspondiente frecuancia, sumar los productos que resulten y elevar al cuadrado la suma.
Se ha de tener en cuenta, que si se trata de datos agrupados X representa el punto medio de cada intervalo.

MEDIDAS DE DISPERCION


(SERIE DE DATOS SIMPLES, SIN FRECUENCIAS ASOCIADAS)
Las medidas de tendencia central son categorías, conjuntos dentro del recorrido de una variable; se les llama de tendencia central por que entorno a ellas parecen agruparse los datos, por ello bien se les puede considerar como sintetizadotes. En general , cualquier medida de tendencia central es un valor promedio, ya que este, por definición, es todo valor que se alla entre 2 extremos.
MEDIA ARITMETICA
Es la mas conocida de las medidas de tendencia central aunque no con este nombre. Se le conoce tambien con los nombres de  valor medio, promedio aritmetico o simplemente media. Se le simboliza con cualquiera de las letras para representar variables, coronada con una barrita. Se le define como la suma de un conjunto de cantidades divididas entre el numero de ellas. El símbolo se expresa:
Donde X simboliza los datos de una variable y N el numero de ellos.
Llamada tambien valor mediano, es el punto dentro del recorrido de una variable que supera a no mas de la mitad de los datos y esperado por no mas de la otra mitad.
Dicho de otra manera es un punto dentro de una distribución de datos que tiene la característica de dividirla en 2 partes iguales. La identificaremos por el símbolo de Me.
Tratándose de serie de datos sin frecuencia asociada no se necesita ninguna formula para hallarla, pero es preciso ordenarlo de mayor a menos o viceversa.
Si el numero de los datos de la variable es par, la mediana es la semisuma de los dos valores intermedios que satisfacen su definición.
MODA
Tambien llamda modo o valor modal es el dato de variable que tiene mayor frecuencia se trato, de echo, del caso mas notorio o tipico de una distribución de datos y se simboliza por Mo.
Ejemplo
Distibucion 2, 3,4, ,4, 2, 5    Mo = 2
MEDIDAS DE DISPERCION
Una mdedida de tendencia central, por si sola no describe ni resume adecuadamente una distribucion de datos; es necesario acompañarla de un indicador que de cuenta del grado o dispersion con que se distribuyen los datos de la variable. Una medida de dispercion dice cuanto se desvian los datos respecto a las tendencias centrales.
RANGO
Se trata de la mas simple de las medidas de dispercion. Representa la distancia entre el menos de los datos de una distribucion, por lo cual puede ser interpretado como la dispercion total de todos ellos. Como es “distancia”, se le obtiene resptando el dato menor del dato mayor.
El rango si bien brinda una 1° idea de la dispersion de un conjunto de datos tiene el inconveniente de que solo toma en cuenta los dos valores extremos y descuida los intermedios; es decir no dice cuanto se desvia un dato intermedio de la tendencia central.
Desviacion media
La desviacion media fue la medida de dispersion de mas uso. Su desplazamiento del arsenal estadistico de debia ala aparicion del concepto de desviacion estandar.
La desviacion media de define como la desviacion promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos de una variable con respecto a su media y se expresa en las mismas unidades de la varible (años, horas, peso etc).
Desviacion estandar y varianza ( serie de datos simples sin frecuancia asocianda)
La desviacion estandar es la medida de dispersion mas adecuado por sus propiedades algebraicas; se le conoce tambien como desviacion tipica.
Como la desviasion de los datos respecto a su distribucion a su media se puede ver hallada en casos concretos, debe ser expresada en las mismas unidades.
Finalmente para hallar la desviacion estandar de extrae la raiz cuadrada y se obtiene la variable.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA, MEDIANA, MODA


(Serie de datos simples sin frecuencias asociadas)
Las medidas de tencion central son categorías o puntos dentro del recorrido de una variable se les llama de tendencia central por que entorno a ellos parecern agruparce los datos por ello bien se les puede considerar  como sintetisadores

*MEDIA ERITMETICA: Es la mas conocida de las medidas de tendencia  centra aunque no con este nombre. Se le simboliza con cualquiera de las letras convenidas para representar  variables, coronada con una barrita. 
Se le define como la suma de un conjunto de cantidades  devididas entre el numero de ellas .

*MEDIANA: Es el punto dentro del recorrido de una variable que supera a no mas de la mitad de los datos y es superado por no mas de la otra mitad. La identificamos con el nombre de Me.
Tratandoce de series de datos sin frecuencia asociada no se necesita ninguna formula para ayarla,pero es presiso ordenarlos de menor a mayor o viceversa.
Me: ejem, x=12,13,17,21,25
*MODA: Es el dato de variable que tiene mayor frecuencia. Se trata del hecho del caso mas notorio o típico de una distribución de datos y se simboliza Mo-
Ejemplo:                       distribución
                                      2,3,2,4,4,2,5
                             Mo=2









Ejemplo  de media mediana y moda

 A)4,2,6,3,3,5,4,4,7                                                               
Media                                              

                       X=    
                         X=4

Mediana   x=4,2,6,3,3,5,4,4,7
Me:
Me:4
MODA:
Mo.=4

b)51,53,48,50,55,57,49,54,54,52,54,58,56
Media                        
X  =             =
X=53
Mediana     x=
Me:    
Me:54
Moda
Mo.54

REGLAS DE LA SUMATORIA


1.-SUMATORIA DE LOS DATOS DE UNA VARIABLE:Para allar la sumatoria de los datos de una variable no hay mas procedimiento que el de la agregaciones decir agregar a cada dato que sigue,hasta terminar, simbólicamente esta regla se Scribe asi. ∑X=X1+X2+X3+…+XN

2.-SUMATORIA DE UNA CONSTANTE: La sumatoria de una constante que aparece n veces en un conjunto es simplemente n veces constante
∑C=C+C+C+…+C
∑C=NC
 Si tenemos 5 valor de C, Y si C=410
ENTONCES:   ∑C=NC=5(10)
                  ∑C=50

La diferencia entra la primera regla y la segunda es que la primera x es una variable que adopta diversos valores, mientras que la segunda C es  1 valor que no cambia.
3.- SUMATORIA DE UNA VARIABLE Y UNA CONSTANTE SUMADA O RESTADA:Es igual a los datos de una variable mas n veces la constante de la exprecion. ∑(X+c)
4.-SUMATORIA DE UNA VARIABLE CON UN MULTIPLICADOR O UN DIVISOR CONSTANTE:En su función de multiplicador o divisor, por la sumatoria de los datos de la variable.
∑CX


5.-SUMATORIA DE POTENCIAS Y RAIZES DE UNA VARIABLE: Primero se halla la potencia o la raíz y luego se lleva a cavo la sumatoria . recordemos qu con símbolo como  . Es el cuadrado o segunda potencia de un valr x entonces , la exprecion sumatorial de  ∑= indica elevar al cuadrado a cada dato de la variable X y posteriormente sumar las potencias, sustitullendo valores numéricos.
6.-REGLA PARA DISTRIBUIR LA SUMATORIA: Si después de la sumatoria se encuentran entre paréntesis una exprecion que incluye solo operaciones de suma o resta la sumatoria puede estar distribuida entre los términos de la exprecion
∑(X+Y-C)= ∑X+∑Y-∑C
∑(X+Y-C) =∑X+∑Y-NC
Note que esta regla es valida para variables o constantes
7.-SUMATORIA DEL PRODUCTO O EL COSIENTE DE 2 O MAS VARIABLES: Digamnos X y Y tendremos sumatoria ∑X,Y
Esta exprecion manda multiplicar cada dato de la variable X por el que le corrsponde en l variable Y y finalmente , sumar los productos
                                                                         Ejemplo:
datos:
x=8,12,16,20,24,28                           ∑(X+B)=  (8+39+(12+3)+(16+3)+(20+3)+(24+3)+(28+3) 
Y=4,6,8,10,12,14                                             =11+15+19+23+27+31
Z=1,2,3,4,5,6                                                  ∑(X+B)=  126
W=2,4,6,8,10,12
C=4,     B=3                                         

                                                    
                                                           ∑yz=(4)(1)(6)(2)(8)(3)(10)(4)(12)(5)14)(6)
                                                                    =4+12+24+400+60+84
                                                                         ∑yz=624